本文参加百家号#科学了不起#系列征文赛。
物理学家说：这个问题对我十岁的时候很有吸引力。如果你从来没有试着用镜头烧东西，收集三副太阳镜，一个放大镜，和一些你不喜欢的东西。在阳光明媚的日子里，戴上三副太阳镜，试一试。
用放大镜烧东西是教育的精华。
通常，当你试图用透镜聚焦阳光时，你会得到一个看起来像彗星的东西。你转动镜头，上下移动，就在亮点变得最小的那一刻，你突然看到了云。这是因为你可以用透镜聚焦太阳的最小的光就是太阳的聚焦图像，顺便说一句，也是天空中任何其他物体的聚焦图像。
日食时放在双筒望远镜的“焦平面”上的纸。这是最小的可以聚焦的光。如果这张纸离太阳更近或更远，太阳的图像就会变得模糊并且更加分散。
透镜的类型有好几种，这取决于两边是怎样是弯曲的，但在每种情况下定义的特点是“焦距”，f。透镜的大规则是：平行光在同一个地方聚集在一起，这个地方就是远离透镜的“焦点”——f。
平行光束聚集在一个焦点上，不同的平行光束聚集在不同的点上。这些点的集合就是“焦平面”。这里我们考虑最简单的情况，光垂直于透镜，因为结果一般适用，我们可以谈论焦点（“焦点”）而不是焦平面。
“图像”是指通过透镜将来自“物体”的光聚集在一起的位置。图像之所以如此命名，是因为如果在该位置恰好有一个屏幕，该对象的图像将出现在焦点内。到图像的距离取决于到物体的距离。是因为如果恰好在该位置有一个屏幕，则对象的图像将出现在焦点中。到图像的距离取决于到对象的距离。
对于透镜，规则是：1）平行光束通过镜头远侧的焦点。2）穿过镜头中心的光不会改变方向。这些规则使我们可以根据对象的大小和位置(黑色条)计算出图像的大小和位置。
这需要一点代数运算（包含在下面的“答案肉汤”中），但是上面标题中的规则1引出了薄透镜方程:
\frac{1}{d_i}+\frac{1}{d_o}=\frac{1}{f}
其中do为透镜到物体的距离，di为透镜到图像的距离，f为透镜的焦距。
规则2更容易处理，用一点代数运算就可以推导出放大率方程:
M=\frac{h_i}{h_o}=\frac{d_i}{d_o}
其中hi和ho是图像和对象的大小。M是图像比物体大多少的因子。对于显微镜来说，你想让M尽可能地大。
到太阳的距离，do，在任何意义上都是无限的。这就是为什么花了这么长时间我们才弄清楚它离我们有多远的原因。就（合理大小的）透镜而言，几英里远的距离可能就是宇宙的另一面。到太阳的距离在“可能也在宇宙的另一边”的范围内。事实上，天空中的一切都属于同一类，这就是为什么夜空看起来像一个圆顶，而不是无尽的空虚。
将do=infty插入到薄透镜方程中，你会发现\frac{1}{f}=\frac{1}{d_i}+\frac{1}{\infty}=\frac{1}{d_i}，所以di=f。换句话说，太阳和其他一切“在无限远处”的东西，将在离透镜很远的地方聚焦f。这与焦距的定义是一致的，因为来自无穷远处光源的光总是平行的。这应该符合我们的经验：如果你看着十英尺外的光，然后来回走，光线的角度就会改变，但如果你看着太阳不要来回走，光线的角度就会保持不变。
从表面上看，似乎没有办法计算出太阳图像的大小。
因为frac{h_i}{h_o}=\frac{d_i}{d_o}=\frac{f}{infty}=0。就像解其他许多不想要的无穷大一样，我们所需要的只是一点代数运算。
如果没有一些相当复杂的技术，我们不可能测量出太阳离我们有多远。但是，尽管do（对于我们大多数人）是遥不可及的，frac{h_o}{d_o}却不是。通过测量太阳在天空中的明显大小，很容易得出它的距离是太阳大时距离的倍。巧合的是，同样的事情也发生在月球上，它距离地球有个月球直径。数学上说：\frac{h_o}{d_o}=\frac{1}{}
注意的读者会记得，我们还没有使用放大率方程\frac{h_i}{h_o}=\frac{d_i}{d_o}。这是有意的；假装有一个问题加剧了戏剧性。解出图像大小hi，代入已知的\frac{h_o}{d_o}=\frac{1}{}和di=f，得到:
h_i=\frac{h_o}{d_o}d_i=\frac{f}{}
那么，当你聚焦阳光时，亮点有多大呢？往好了说，略小于镜头距离的1%。为了尽可能多地集中来自太阳的光线，你需要把目标（太阳灶、蚂蚁的踪迹、木头，无论什么）放在镜头的焦距上。当你这样做时，亮点的直径将为\frac{f}{}。这最终归结为一个事实，即太阳确实离我们很远，而且比它的距离还要小倍。
透镜越大，它能收集的阳光就越多。所以最好的燃烧材料的镜头是尽可能大的（因为能收集更多的光），并且焦距也是尽可能短的。
答案肉汤：时不时地，我们有必要看看如何把事实陈述转变为数学。几何光学（这听起来比它更令人印象深刻）基本上可以归结为上面提到的两个规则:
1）平行光束将通过镜头远侧的焦点。
2）穿过镜头中心的光不会改变方向。
薄透镜方程几乎立即就脱离了这些规则和相似三角形的几何学。规则2是最容易被使用的。观察穿过镜头中心的那条线，我们发现两边各有两个相似的三角形。左边的三角形有ho和do，另一个有hi和di。由于这些三角形相似，所以它们的长度之比是相同的:\frac{h_o}{d_o}=\frac{h_i}{d_i}。重新排列，把h和d放在相对的两边，就得到了放大方程，\frac{d_i}{d_o}=\frac{h_i}{h_o}。这很简单!
用同样的方法来处理规则1所形成的三角形，我们就可以得到薄透镜方程。只看右边（哪边不重要），有两个三角形彼此相似。较小的有f和ho，较大的有di和ho+hi。
就是这样，我们从一对直观的，但很难应用的原则开始，最后得到一对不直观但易于应用的方程。
作者:askamathematician
FY:停云
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